Билеты большинства авиакомпаний оформляются в международных системах бронирования, которые не распознают кириллицу — только латиницу.
Такое написание является универсальным и принимается любой авиакомпанией и на любом маршруте, даже если вы летите внутренним рейсом по России и по внутреннему паспорту гражданина РФ.
— А вот я покупал билет на сайте авиакомпании, и в нём всё было по-русски!
Да, так могло быть, если это российская авиакомпания. Некоторые из них работают в российской (и русскоязычной) системе бронирования, поэтому могут оформлять билеты с написанием ФИО кириллицей. При этом российская система распознаёт и кириллицу, и латиницу, поэтому если бы вы в тот раз оформили билет с написанием ФИО латиницей, вы бы точно так же использовали его и совершили перелёт.
А Купибилет работает более чем с 700 авиакомпаниями, большинство из которых — иностранные, с продажей билетов только через зарубежные (англоязычные) системы. Эти системы воспринимают только латиницу, а кириллицу туда просто не ввести.